Тема занятия 28: Классификация электрических фильтров.

28.1 Определения.

Электрическим частотным фильтром называется четырехполюсник, который токи одних частот пропускает хорошо с малым затуханием (ослаблением 3 дБ), а токи других частот плохо с большим затуханием (30 дБ).

Диапазон частот, в которых ослабление мало называется полосой пропускания.

Диапазон частот, в которых ослабление велико называется полосой задерживания.

Между этими полосами вводят полосу перехода.

Основной характеристикой электрических фильтров является зависимость рабочего затухания от частоты.

Эта характеристика называется частотной характеристикой затухания.

- частота среза, на которой рабочее затухание составляет 3 дБ.

- допустимое затухание, задается механическими параметрами фильтра.

- допустимая частота, соответствующая допустимому затуханию.

ПП- полоса пропускания – область частот, в которых
дБ.

ПЗ – полоса задерживания – область частот, в которых рабочее затухание больше допустимого.

28.2 Классификация

1
По расположению полосы пропускания:

а) ФНЧ – фильтр нижних частот – пропускает низкие частоты и задерживает верхние.

Применяется в аппаратуре связи(телевизионные приемники).

б
) ФВЧ – фильтр верхних частот – пропускает высокие частоты и задерживает низкие.

в
) ПФ – полосовые фильтры – пропускают только определенную полосу частот.

г
) ЗФ - режекторные или заграждающие фильтры – не пропускают только определенную полосу частот, а остальные пропускают.

2 По элементной базе:

а) фильтры LC(пассивные)

б) фильтры RC(пассивные)

в) активные фильтры ARC

г) специальные типы фильтров:

Пьезоэлектрические

Магнитострикционные

3 По математическому обеспечению:

а
) фильтры Баттерворта. Характеристика рабочего затухания
имеет на частотеf=0 значение 0 , а затем монотонно увеличивается. В полосе пропускания имеет плоскую характеристику – это достоинство, но в полосе задерживания идет не круто – это недостаток.

б) фильтры Чебышева. Чтобы получить более крутую характеристику используют фильтры Чебышева, но у них в полосе пропускания появляется «волнистость», что является недостатком.

в) фильтры Золотарева. Характеристика рабочего затухания
в полосе пропускания имеет волнистость, а в полосе задерживания провал характеристик.

Тема занятия 29: Фильтры НЧ и ВЧ Баттерворта.

29.1 Фнч Баттерворта.

Баттерворт предложил следующую формулу затухания:

,дБ

где
- функция Баттерворта (нормированная частота)

n– порядок фильтра

Для ФНЧ
, где- любая нужная частота

- частота среза, которая равна

Чтобы реализовать такую характеристику используются фильтры LиC.

И

ндуктивность ставят последовательно нагрузке, так как
и с ростомувеличивается
.Поэтому токи низких частот легко пройдут через сопротивление индуктивности, а токи высоких частот задержатся и в нагрузку не попадут.

Конденсатор ставят параллельно нагрузке, так как
, поэтому конденсатор хорошо пропускает токи верхних частот и плохо нижних. Токи верхних частот замкнутся через конденсатор, а токи низких частот пройдут в нагрузку.

Схема фильтра состоит из чередующихся LиC.

ФНЧ Баттерворта 3-го порядка Т-образный

ФНЧ Баттерворта. 3-го порядка П-образный.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Баттерворта 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Чебышева 3 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Чебышева 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Бесселя 3 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Бесселя 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Произвести анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифрового ФНЧ на АЧХ (изменяя один из коэффициентов b j ). Описать характер изменения ЧХ. Сделать вывод о влиянии изменения одного из коэффициентов на поведение фильтра.

Анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифрового ФНЧ на АЧХ проведем на примере фильтра Бесселя 4 порядка.

Выберем величину отклонения коэффициентов ε, равной –1,5%, чтобы максимальное отклонение АЧХ составило около 10%.

АЧХ "идеального" фильтра и фильтров с измененными коэффициентами на величину ε показана на рисунке:

И

з рисунка видно, что наибольшее влияние на АЧХ оказывает изменение коэффициентовb 1 и b 2 , (их величина превышает величину других коэффициентов). Используя отрицательную величину ε, отмечаем, что положительные коэффициенты уменьшают амплитуду в нижней части спектра, а отрицательные – увеличивают. При положительной величине ε, все происходит наоборот.

Проквантовать коэффициенты цифрового фильтра на такое число двоичных разрядов, чтобы максимальное отклонение АЧХ от исходной составляло порядка 10 - 20%. Зарисовать АЧХ и описать характер ее изменения.

Изменяя число разрядов дробной части коэффициентов b j отметим, чтомаксимальное отклонение АЧХ от исходной не превышающее 20% получается приn≥3.

Вид АЧХ при различных n приведен на рисунках:

n =3, максимальное отклонение АЧХ=19,7%

n =4, максимальное отклонение АЧХ=13,2%

n =5, максимальное отклонение АЧХ=5,8%

n =6, максимальное отклонение АЧХ=1,7%

Таким образом, можно отметить, что увеличение разрядности при квантовании коэффициентов фильтра приводит к тому, что АЧХ фильтра все больше стремится к исходной. Однако необходимо отметить, что это усложняет физическую реализуемость фильтра.

Квантование при различных n можно проследить по рисунку:

Страница 1 из 2

Определим порядок фильтра исходя из требуемых условий по графику для затухания в полосе задерживания в книге Г.Лэм «Аналоговые и цифровые фильтры» гл.8.1 стр.215.

Понятно, что для необходимого затухания достаточно фильтра 4 порядка. График приведён для случая, когда w с =1 рад/с, а соответственно частота, на которой нужно необходимое затухание – 2 рад/с (соответственно 4 и 8 кГц). Общий график для передаточной функции фильтра Баттерворта:

Определяем схемную реализацию фильтра:

активный фильтр нижних частот четвёртого порядка со сложной отрицательной обратной связью:

Чтобы желаемая схема имела желаемую амплитудно-частотную характеристику, входящие в неё элементы могут быть подобраны с не очень высокой точностью, что является плюсом данной схемы.

активный фильтр нижних частот четвёртого порядка с положительной обратной связью:

В данной схеме коэффициент усиления операционного усилителя должен иметь строго определённое значение, а коэффициент передачи данной схемы будет не больше 3. Поэтому данную схему можно отбросить.

активный фильтр нижних частот четвёртого порядка с омической отрицательной обратной связью

Данный фильтр построен на четырех операционниках, что увеличивает помехи и сложность расчёта данной схемы, поэтому её мы также отбрасываем.

Из рассмотренных схем мы выбираем фильтр со сложной отрицательной обратной связью.

Расчёт фильтра

Определение передаточной функции

Записываем табличные значения коэффициентов для фильтра Баттерворта четвёртого порядка:

a 1 =1.8478 b 1 =1

a 2 =0.7654 b 2 =1

(см. У.Титце, К.Шенк «Полупроводниковая схемотехника» табл.13.6 стр. 195)

Общее выражение передаточной функции для ФНЧ четвёртого порядка:

(см. У.Титце, К.Шенк «Полупроводниковая схемотехника» табл.13.2 стр. 190 и форм. 13.4 стр. 186).

Передаточная функция первого звена имеет вид:

Передаточная функция второго звена имеет вид:

где w с – круговая частота среза фильтра, w с =2pf c .

Расчёт номиналов деталей

Приравняв коэффициенты выражений (2) и (3) коэффициентам выражения (1) получим:

Коэффициенты передачи постоянного сигнала для каскадов, их произведение А 0 должно быть равно 10 по заданию. Они отрицательные, так как данные каскады являются инвертирующими, однако их произведение даёт положительный коэффициент передачи.

Для расчёта схемы лучше задаться емкостями конденсаторов, при этом для того, чтобы значение R 2 было действительным, должно выполняться условие

и соответственно

Исходя из этих условий выбирается С 1 =С 3 =1 нФ, С 2 =10 нФ, С 4 =33 нФ.

Рассчитываем значения сопротивлений для первого каскада:

Значения сопротивлений второго каскада:

Выбор ОУ

При выборе ОУ необходимо учитывать диапазон частот фильтра: частота единичного усиления ОУ (на которой коэффициент усиления равен единице) должна быть больше произведения частоты среза и коэффициента усиления фильтра K у.

Поскольку максимальный коэффициент усиления равен 3.33, а частота среза 4 кГц, то этому условию удовлетворяют почти все существующие ОУ.

Другим важным параметром ОУ является его входное сопротивление. Оно должно быть больше десятикратного максимального сопротивления резистора схемы.

Максимальное сопротивление в схеме равно 99.6 кОм, следовательно входное сопротивление ОУ должно быть не менее 996 кОм.

Так же необходимо учитывать нагрузочную способность ОУ. Для современных ОУ минимальное сопротивление нагрузки составляет 2 кОм. Учитывая, что сопротивление R1 и R4 равны соответственно 33.2 и 3.09 кОм, выходной ток операционного усилителя будет заведомо меньше максимально допустимого.

В соответствии с вышеприведёнными требованиями выбираем ОУ К140УД601 со следующими паспортными данными (характеристиками):

K у. min = 50 000

R вх = 1 МОм

АЧХ фильтра Баттерворта описывается уравнением

Особенности фильтра Баттерворта: нелинейная ФЧХ; частота среза не зависящая от числа полюсов; колебательный характер переходной характеристики при ступенчатом входном сигнале. С увеличением порядка фильтра колебательный характер усиливается.

Фильтр Чебышева

АЧХ фильтра Чебышева описывается уравнением

,

где T n 2 (ω/ω н ) – полином Чебышева n –го порядка.

Полином Чебышева вычисляется по рекуррентной формуле

Особенности фильтра Чебышева: повышенная неравномерность ФЧХ; волнообразная характеристика в полосе пропускания. Чем выше коэффициент неравномерности АЧХ фильтра в полосе пропускания, тем более резкий спад в переходной области при одном и том же порядке. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном сигнале сильнее, чем у фильтра Баттерворта. Добротность полюсов фильтра Чебышева выше, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя

АЧХ фильтра Бесселя описывается уравнением

,

где
;B n 2 (ω/ω cp з ) – полином Бесселя n -го порядка.

Полином Бесселя вычисляется по рекуррентной формуле

Особенности фильтра Бесселя: достаточно равномерные АЧХ и ФЧХ, аппроксимируемые функцией Гаусса; фазовый сдвиг фильтра пропорционален частоте, т.е. фильтр обладает частотно-независимым групповым временем задержки. Частота среза изменяется при изменении количества полюсов фильтра. Спад АЧХ фильтра обычно более пологий, чем у Баттерворта и Чебышева. Особенно хорошо этот фильтр подходит для импульсных цепей и фазочувствительной обработки сигнала.

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр)

Общий вид передаточной функции фильтра Кауэра

.

Особенности фильтра Кауэра: неравномерная АЧХ в полосе пропускания и в полосе задерживания; самый резкий спад АЧХ из всех приведенных фильтров; реализует требуемые передаточные функции при меньшем порядке фильтра, чем при использовании фильтров других типов.

Определение порядка фильтра

Требуемый порядок фильтра определяется по приведенным ниже формулам и округляется в сторону ближайшего целого значения. Порядк фильтра Баттерворта

.

Порядка фильтра Чебышева

.

Для фильтра Бесселя не существует формулы расчета порядка, вместо этого приводятся таблицы соответствия порядка фильтра минимально необходимым на заданной частоте отклонению времени задержки от единичной величины и уровню потерь в дБ).

При расчете порядка фильтра Бесселя задаются следующие параметры:

Допустимое процентное отклонение группового времени задержки на заданной частоте ω ω cp з ;

Может быть задан уровень ослабления коэффициента передачи фильтра в дБ на частоте ω , нормированной относительно ω cp з .

На основании этих данных определяется требуемый порядок фильтра Бесселя.

Схемы каскадов фнч 1–го и 2–го порядка

На рис. 12.4, 12.5 приведены типовые схемы каскадов ФНЧ.

а ) б )

Рис. 12.4. Каскады ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

а ) б )

Рис. 12.5. Каскады ФНЧ Кауэра: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

Общий вид передаточных функций ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя 1–го и 2–го порядка

,
.

Общий вид передаточных функций ФНЧ Кауэра 1–го и 2–го порядка

,
.

Ключевым отличием фильтра Кауэра 2–го порядка от заграждающего фильтра является то, что в передаточной функции фильтра Кауэра отношение частот Ω s ≠ 1.

Методика расчета ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя

Данная методика построена на основе коэффициентов, приведенных в таблицах и справедлива для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Методика расчета фильтров Кауэра приводится отдельно. Расчет ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя начинается с определения их порядка. Для всех фильтров задаются параметры минимального и максимального ослабления и частота среза. Для фильтров Чебышева дополнительно определяется коэффициент неравномерности АЧХ в полосе пропускания, а для фильтров Бесселя – групповое время задержки. Далее определяется передаточная функция фильтра, которая может быть взята из таблиц, и рассчитываются его каскады 1–го и 2–го порядка, соблюдается следующий порядок расчета:

В зависимости от порядка и типа фильтра выбираются схемы его каскадов, при этом фильтр четного порядка состоит из n /2 каскадов 2–го порядка, а фильтр нечетного порядка – из одного каскада 1–го порядка и (n – 1)/2 каскадов 2–го порядка;

Для расчета каскада 1–го порядка:

По выбранному типу и порядку фильтра определяется значение b 1 каскада 1–го порядка;

Уменьшая занимаемую площадь, выбирается номинал емкости C и рассчитывается R по формуле (можно выбрать и R , но рекомендуется выбирать C , из соображения точности)

;

Вычисляется коэффициента усиления К у U 1 каскада 1–го порядка, который определяется из соотношения

,

где К у U – коэффициент усиления фильтра в целом; К у U 2 , …, К у Un – коэффициенты усиления каскадов 2–го порядка;

Для реализации усиления К у U 1 необходимо задать резисторы, исходя из следующего соотношения

R B = R A ּ(К у U1 –1) .

Для расчета каскада 2–го порядка:

Уменьшая занимаемую площадь выбраются номиналы емкостей C 1 = C 2 = C ;

Выбраются по таблицам коэффициенты b 1 i и Q pi для каскадов 2–го порядка;

По заданному номиналу конденсаторов C рассчитываются резисторы R по формуле

;

Для выбранного типа фильтра необходимо задать соответствующий коэффициент усиления К у Ui = 3 – (1/Q pi ) каждого каскада 2-го порядка, посредством задания резисторов, исходя из следующего соотношения

R B = R A ּ(К у Ui –1) ;

Для фильтров Бесселя необходимо умножить номиналы всех емкостей на требуемое групповое время задержки.

Фильтр Баттерворта

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта n -го порядка характеризуется выражением:

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта обладает следующими свойствами:

1) При любом порядке n значение АЧХ

2) на частоте среза щ=щ с

АЧХ ФНЧ монотонно убывает с ростом частоты. По этой причине фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими характеристиками. На рисунке 3 показаны графики амплитудно-частотных характеристик ФНЧ Баттерворта 1-5 порядков. Очевидно, что чем больше порядок фильтра, тем точнее аппроксимируется АЧХ идеального фильтра нижних частот.

Рисунок 3 - АЧХ для фильтра Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5

На рисунке 4 представлена схемная реализация ФВЧ Баттерворта.

Рисунок 4 - ФВЧ-II Баттерворта

Достоинством фильтра Баттерворта является максимально гладкая АЧХ на частотах полосы пропускания и ее снижение практически до нуля на частотах полосы подавления. Фильтр Баттерворта -- единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

Однако в сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления.

Фильтр Чебышева

Квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева определяется выражением:

где - полином Чебышева. Модуль передаточной функции фильтра Чебышева равен единице на тех частотах, где обращается в нуль.

Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышева I и II родов.

Фильтр Чебышева I рода. Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышева. В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации е. В случае аналогового электронного фильтра Чебышева его порядок равен числу реактивных компонентов, использованных при его реализации. Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jщ в комплексной плоскости. Это, однако, приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот I рода четвёртого порядка представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 - АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот I рода четвёртого порядка

Фильтр Чебышева II рода (инверсный фильтр Чебышева) используется реже, чем фильтр Чебышева I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления.

АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот II рода четвёртого порядка представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 - АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот II рода

На рисунке 7 представлены схемные реализации ФВЧ Чебышева I и II порядка.

Рисунок 7 - ФВЧ Чебышева: а) I порядка; б) II порядка

Свойства частотных характеристик фильтров Чебышева:

1) В полосе пропускания АЧХ имеет равноволновой характер. На интервале (-1?щ?1) имеется n точек, в которых функция достигает максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного. Если n нечетно, если n четно;

2) значение АЧХ фильтра Чебышева на частоте среза равно

3) При функция монотонно убывает и стремится к нулю.

4) Параметр е определяет неравномерность АЧХ фильтра Чебышева в полосе пропускания:

Сравнение АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева показывает, что фильтр Чебышева обеспечивает большее ослабление в полосе пропускания, чем фильтр Баттерворта такого же порядка. Недостаток фильтров Чебышева заключается в том, что их фазочастотные характеристики в полосе пропускания значительно отличаются от линейных.

Для фильтров Баттерворта и Чебышева имеются подробные таблицы, в которых приведены координаты полюсов и коэффициенты передаточных функций различных порядков.