Чему равна дисперсия шума квантования при округлении. Шумы квантования и алиасинг. Шумы неравномерного квантования

Изобретение в 1959….1961 гг. когерентных лазерных источников света положило начало разработкам оптических линий связи, где переносчиком сообщений являются световые волны. Для световых волн диапазона 10 14 – 10 15 Гц (0,5….10,6 мкм) были созданы специальные направляющие системы – световоды. Наиболее перспективными из них оказались диэлектрические волноводы, или волокна, как их называют из-за малых поперечных сечений. Простейший световод представляет собой тонкое волокно цилиндрической формы, которое состоит из сердечника и оболочки. По сердечнику передаётся электромагнитная энергия в виде световой волны, поэтому его изготавливают из материала с наименьшими оптическими потерями (кварц, многокомпонентные стёкла)

В оптическом диапазоне заметно проявляется шум, связанный с дискретной природой электромагнитного излучения – квантовый шум (КШ).

Каналы связи, в которых КШ ограничивает качество приёма сообщений, называются квантовыми каналами.

Для каналов с открытым пространством основными перспективными направлениями стали космическая связь с использованием искусственных спутников земли (ИСЗ), ближняя наземная связь через атмосферу, подводная связь. Применяют газовые, твёрдотельные и полупроводниковые лазеры как видимого, так и инфракрасного диапазонов. В основном используют модуляцию с изменением интенсивности излучения – двоичную АМ, двоичную БИМ (биимпульсный сигнал), многопозиционную ВИМ. Успешно применяют и поляризационную модуляцию (ПМ). В многоканальных системах кроме временного используют и частотное разделение на поднесущих. Интенсивность модулируется гармоническими поднесущими (обычно СВЧ диапазона), которые модулируются по амплитуде, фазе или частоте.

Демодуляция чаще всего выполняется с прямым детектированием. В инфракрасном диапазоне с успехом применяют и гетеродинный приём. В каналах с закрытым пространством оптический сигнал канализируется либо по трубам – световодам с дискретными фазокорректорами (линзы, зеркала), либо по диэлектрическим волоконным световодам.

В последние годы основным направлением стала разработка волоконно-оптических каналов с передачей сигналов в ближнем инфракрасном (длина волны примерно 1 мкм) диапазоне. В качестве генераторов излучения применяются полупроводниковые лазеры и некогерентные источники – светодиоды.

Основные отличия оптических каналов, связанные с малой длиной волны и квантовой природой излучения, заключаются в следующем:

Тепловой шум может быть пренебрежительно мал;

Вследствие квантовых закономерностей параметры сигнала являются случайными, даже в отсутствие мешающих факторов.

В системе с пассивной паузой в пренебрежении тепловыми шумами символ 0 (отсутствие излучения) принимается безошибочно. Тогда как символ 1 (импульс излучения) с ненулевой вероятностью пропускается.

Вследствие высокой частоты несущих колебаний оказываются практически нереализуемыми согласованная фильтрация по частотному спектру и согласованная пространственная селекция сигнала, не выполняется разделение ортогональных сигналов.

Энергия электромагнитного поля имеет дискретную природу – излучается и поглощается квантами ,

где: h = 6,624·10 -34 Вт·с / Гц – постоянная Планка, f – частота.

Квантовый шум – это флуктуации измеряемых параметров сигнала.

Квантовый шум не аддитивен, так как он коррелирован с сигналом.

В области инфракрасного и видимого излучений энергия фотона увеличивается, а спектральная плотность средней мощности тепловых флуктуаций уменьшается.

Выводы

1. Шум лазера – это квантовый шум, так как проявляется во флуктуациях параметров сигнала, детерминированного по классическим представлениям.

2. Квантовый шум не является аддитивным, так как зависит от самого полезного сигнала.

Заключение

1. В каналах связи присутствуют помехи, которые ухудшают верность приёма сообщений.

2. Помехи могут быть аддитивными и мультипликативными.

3. Среди аддитивных помех наиболее распространенными являются флуктуационные, сосредоточенные по спектру и импульсные.

4. Удобной моделью аддитивной помехи является белый шум, с помощью которого можно описывать реальные процессы, происходящие в каналах связи.

5. Квантовый шум не является аддитивным, так как зависит от самого полезного сигнала.

Майоров В.П.
Семин М.С.

Цель данной статьи показать как выглядят изображения при различном отношении сигнал-шум. Это отношение является определяющим для оценки качества изображения и чувствительности камеры.

Квантовые шумы, как они есть

Ниже представлены примеры, иллюстрирующие как выглядят изображения при различных освещенностях. Яркость объекта выражена в количестве электронов, которые возникают в ячейке ПЗС матрицы в результате воздействия света. Оценкой качества изображения служит отношение сигнал-шум (S/N), замеренное на светлой части изображения.

В качестве телевизионной системы ввода использовалась система VS-CTT-085-60 изготовленная на основе CCD матрицы SONY ICX085AL . При расчетах принималось значение шума чтения 25 электронов (о шуме чтения см. ниже).

Исходное изображение - центральная часть телевизионной испытательной таблицы. Соотношение сигнал/шум - около 80. Размер этого изображения 256*256 пикселей.

Рис 1. Исходное изображение

Левые изображения - это изображения, учитывающие шум чтения матрицы (25 электронов), правые - это изображения при том же уровне освещенности, но при отсутствии шума чтения как такового. Можно сказать, что правая колонка изображений - это идеальный случай к которому можно приближаться бесконечно долго, но превзойти в принципе невозможно, потому что дальше все упирается в "квантовые шумы".

Уровень сигнала	Изображения при шуме чтения 25 электронов	Изображения без учета шума чтения
Сигнал 25 электронов	S/N=1
Сигнал 52 электрона	S/N=2
Сигнал 108 электронов	S/N=4
Сигнал 234 электрона	S/N=8
Сигнал 547 электронов	S/N=16
Сигнал 1400 электронов	S/N=32

Попробуем все это пояснить.

Шум на изображении, полученный с ПЗС матрицы, можно в упрощенном виде разделить на 2 основных компонента (на самом деле этих компонентов больше, но остальными в данном случае можно пренебречь):

шум чтения матрицы;
квантовый шум фотонов.

Шум чтения матрицы - это постоянная величина, которая определяется только схемотехникой CCD. К сожалению, фирма SONY на ПЗС матрицах которой мы производили все наши эксперименты, не сообщает этот параметр. Мы его просто замерили на нашей конкретной камере VS-CTT-085-60 и он получился равным 20-25 электронам. Похожие цифры мы встречали на сайтах зарубежных фирм-изготовителей камер на этой матрице.

Квантовый шум происходит от основополагающих свойствах всего сущего и в частности света. Кванты света распределяются в пространстве и во времени случайным образом. При этом число электронов, накопленное в ячейке, может быть определено с точностью до квадратного корня из их числа (статистика Пуассона).

При небольшом уровне яркости объекта наибольший вклад в шумы вносится шумом чтения матрицы. Этот шум определяет минимально возможный уровень сигнала, который может быть увиден.

При изображении составленном из 400-625 электронов, квантовый шум сравнивается с шумом чтения. При сигнале больше этой величины наибольший вклад в общий шум вносится "квантовым шумом фотонов". Изображения из последнего ряда очень близки, а ведь это только 7% (!!!) от максимальной емкости пикселя матрицы ICX085 (20000 э-1).

Заключение

Если продавец говорит Вам, что его супер-пупер камера имеет чувствительность 0.0хххх1 люкс - не забывайте спрашивать - а при каком соотношении сигнал-шум это все замерено?

Посмотрите на изображения и делайте выводы сами! Мы можем еще раз повторить - чудес в повышении чувствительности телекамер ждать не следует.

Если Вы при освещенности близкой к насыщению матрицы получили "шумное" изображение, то искать причину этих шумов в камере смысла не имеет.

При правильно выбранной частоте дискретизации, исходя из теоремы Котельникова, точность преобразования аналогового ЗС в цифровой определяется величиной шага квантования.Погрешность преобразования тем меньше, чем меньше шаг квантования. Разность между исходным и квантованным значениями сигнала в дискретные моменты времени называется шумом квантования (ошибкой квантования).

Шум квантования в отличие от флуктуационного шума, в общем случае, носит неслучайный характер. Поэтому правильнее говорить об искажениях сигнала при его аналого-цифровом преобразовании. При фиксированном максимальном уровне входного аналогового ЗС шум квантования определяется числом уровней квантования – разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

При кодировании двоичными числами и длине кодового слова в m разрядов количество двоичных кодовых слов r (разрешающая способность) составляет. Так при m=16, r=65536.

Поток кодовых слов на выходе АЦП характеризуется скоростью передачи данных – число бит информации переданных за 1 секунду. Скорость передачи данных есть произведение числа разрядов кодового слова на частоту дискретизации (в герцах). Объем памяти необходимый для хранения информации о реализации ЗС длительностью, определяется как произведение скорости потока данных на длительность сигнала.

При линейной импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), т.е. при равномерном шаге квантования, мощность шума квантования определяется только шагом квантования:

где - общий динамический диапазон сигнала.

Эффективное значение ошибки квантования:

Шум квантования представляет собой, при линейной ИКМ, случайный процесс с равномерным расширением в пределах, с плотностью вероятности. Спектр шума квантования равномерный в полосе частот.

Шум квантования проявляется только при наличии сигнала. При отсутствии сигнала на входе АЦП на выходе АЦП будут иметь место квантование колебания в младшем разряде АЦП. Объясняется это наличием теплового шума входных аналоговых частей АЦП, нестабильностью питающего напряжения, дрейфом постоянной составляющей в усилителях постоянного тока и другими причинами. На выходе ЦАП (цифро-аналогового преобразователя) это квантованное колебание превращается в шум, называемый шумом паузы. Шум паузы менее равномерный, чем белый шум, характерный для аналоговых устройств, и его часто называют гранулированным. Мощность шума паузы:

на 4,7 дБ больше шума квантования.

Поскольку не зависит от уровня входного сигнала, с увеличением мощности входного отношение линейно растет до тех пор пока не возникают шумы ограничения. Уровень ограничения по входу АЦП определяется максимальным входным рабочим напряжением АЦП. Шумом ограничения называется разность между исходным и ограниченным сигналами. Система АЦП рассчитывается таким образом, чтобы ограничения не возникало т.е.

здесь R- пик-фактор сигнала; S СР – среднеквадратическое значение сигнала.

Число шагов можно определить из соотношения:

где - максимальное и минимальное значения сигнала на входе АЦП;

Шаг квантования.

С учетом выражений (9.6), (9.9),(9.10) получим выражение для мощности шума

Мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом,тогда

или в децибелах

При m- разрядном кодировании, тогда

У гармонического сигнала пик-фактор, в этом случае

Для сигналов вещания пик-фактор зависит от жанра программы. Если в среднем считать R=13 дБ то

Если учитывать неодинаковую чувствительность слуха слушателя к составляющим шума разных частот, то отношение сигнал/шум квантования уменьшается на 8.5 дБ для сигнала в полосе частот до 15 кГц и составляет

Динамический диапазон цифрового сигнала оценивают величиной, дБ с учетом того, что получаем

Из выражения (9.15) видно, что увеличение числа разрядов на единицу приводит к улучшению отношения сигнал/шум на 6 дБ.

На рис.9.2. изображены зависимости отношения сигнал/шум для сигналов 3В при разных значениях m от уровня входного сигнала (9.17).

При 16-разрядном квантовании имеем для гармонического сигнала D=90 дБ, С-Ш=98 Б (из выражений 9.15, 9.18). Отношение С-Ш при расчете по формуле (9.17) получается равным 80дБ при кодировании сигнала максимального по уровню. При кодировании слабых сигналов отношение С-Ш меньше на величину динамического диапазона сигнала и оказывается весьма малым при D=50…60 дБ.

80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Рис.9.2. Отношение сигнал/шум при ИКМ

Эффекты конечной разрядности цифровых фильтров

При анализе ЛДС предполагалось, что сигналы дискретизируются только по времени и дискретные отсчеты и коэффициенты фильтров представлялись с неограниченной точностью. Однако в реальных или цифровых системах точность вычислений ограничена и зависит от числа разрядов используемых устройств: АЦП, регистров, сумматоров, умножителей. Это обстоятельство приводит к следующим эффектам:

Шум квантования при аналого-цифровом преобразовании;

Округление результатов промежуточных вычислений;

Искажения частотных характеристик из-за квантования коэффициентов цифровых фильтров;

Переполнение разрядной сетки в процессе вычислений;

Предельные циклы малого уровня.

Шум квантования

Под шумами квантования понимают случайные ошибки между дискретными во времени отсчетами сигналов и их цифровым представлением с ограниченной разрядностью.

Соседние отсчеты шумов квантования предполагаются некоррелированными между собой. И шум квантования является «белым».

Плотность вероятности шума квантования соответствует равномерному закону распределения:

, (2.1)

где - интервал квантования по уровню.

Дисперсия шумов квантования определяется законом распределения:

. (2.2)

Если максимальное значение квантованного сигнала равно , то интервал квантования равен:

где - число разрядов цифрового устройства.

Спектральная плотность мощности шумов квантования определяется выражением:

где DТ – интервал дискретизации.

Например, коэффициент усиления приемного устройства до входа АЦП выбирается таким образом, чтобы уровень тепловых приемного устройства превышал спектральную плотность шумов квантования.

Вклад входных шумов квантования в выходной сигнал цифрового фильтра определяется выражением:

Соответственно, дисперсия выходного шума квантования:

Литература

Маркович И.И. Цифровая обработка сигналов в системах и устройствах: монография / И.И. Маркович; Южный федеральный университет. – Ростов н/Д: Издательство Южного федерального университета, 2012. – 236 с.

Основы цифровой обработки сигналов: учебное пособие / Ю.А. Брюханов, А.А. Приоров, В.И. Джиган, В.В. Хрящев; Яросл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2013. – 344 с. (с. 152)

Карташов В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. – М.: Высш. школа, 1982. – 109. (с. 86)

В зависимости от типа аналого-цифрового преобразования могут возникать из-за округления (до определённого разряда) сигнала или усечения (отбрасывания младших разрядов) сигнала.

Математическое описание

Модель

Шум квантования можно представить как аддитивный дискретный сигнал $e(nT)$ , учитывающий ошибки квантования. Если $d(nT)$ - входной сигнал квантователя, а $F[\,]$ - его передаточная функция , то имеем следующую линейную модель шума квантования:

$e(nT) = F - d(nT)$

Линейная модель используется для аналитического исследования свойств шума квантования.

Детерминированные оценки

Детерминированные оценки позволяют определить абсолютные границы шума квантования в случае равномерного квантования:

$|max| = \frac{1}{m} 2^{-b} = \frac{1}{m} Q$ ,

где $b$ - число разрядов квантования (сигнала $e(nT)$ ), $Q$ - шаг квантования $m = 2$ - при округлении $m = 1$ - при усечении.

Вероятностные оценки

Вероятностные оценки основаны на представлении ошибок квантования (сигнала $e(nT)$ ) как случайного шумоподобного процесса. Допущения, вводимые относительно шума квантования:

Последовательность $e(nT)$ является стационарным случайным процессом
Последовательность $e(nT)$ не коррелирована с квантуемым сигналом $d(nT)$
Любые два отсчёта последовательности $e(nT)$ не коррелированы, то есть шум квантования является процессом типа «белый шум ».
Распределение вероятности ошибок квантования является равномерным по диапазону ошибок квантования.

$M_e = -0,5Q$
$D_e = Q^2/12$

См. также

Напишите отзыв о статье "Шум квантования"

Литература

Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов - М .: Радио и связь, 1985.

Ссылки

(англ.)

Отрывок, характеризующий Шум квантования

Княжна Марья поняла все.
Но она все таки надеялась и спросила словами, в которые она не верила:
– Но как его рана? Вообще в каком он положении?
– Вы, вы… увидите, – только могла сказать Наташа.
Они посидели несколько времени внизу подле его комнаты, с тем чтобы перестать плакать и войти к нему с спокойными лицами.
– Как шла вся болезнь? Давно ли ему стало хуже? Когда это случилось? – спрашивала княжна Марья.
Наташа рассказывала, что первое время была опасность от горячечного состояния и от страданий, но в Троице это прошло, и доктор боялся одного – антонова огня. Но и эта опасность миновалась. Когда приехали в Ярославль, рана стала гноиться (Наташа знала все, что касалось нагноения и т. п.), и доктор говорил, что нагноение может пойти правильно. Сделалась лихорадка. Доктор говорил, что лихорадка эта не так опасна.
– Но два дня тому назад, – начала Наташа, – вдруг это сделалось… – Она удержала рыданья. – Я не знаю отчего, но вы увидите, какой он стал.
– Ослабел? похудел?.. – спрашивала княжна.
– Нет, не то, но хуже. Вы увидите. Ах, Мари, Мари, он слишком хорош, он не может, не может жить… потому что…

Когда Наташа привычным движением отворила его дверь, пропуская вперед себя княжну, княжна Марья чувствовала уже в горле своем готовые рыданья. Сколько она ни готовилась, ни старалась успокоиться, она знала, что не в силах будет без слез увидать его.
Княжна Марья понимала то, что разумела Наташа словами: сним случилось это два дня тому назад. Она понимала, что это означало то, что он вдруг смягчился, и что смягчение, умиление эти были признаками смерти. Она, подходя к двери, уже видела в воображении своем то лицо Андрюши, которое она знала с детства, нежное, кроткое, умиленное, которое так редко бывало у него и потому так сильно всегда на нее действовало. Она знала, что он скажет ей тихие, нежные слова, как те, которые сказал ей отец перед смертью, и что она не вынесет этого и разрыдается над ним. Но, рано ли, поздно ли, это должно было быть, и она вошла в комнату. Рыдания все ближе и ближе подступали ей к горлу, в то время как она своими близорукими глазами яснее и яснее различала его форму и отыскивала его черты, и вот она увидала его лицо и встретилась с ним взглядом.